O mais intrigante problema de probabilidade

Há 30 anos atrás, eu trabalhava com um grupo cujos participantes tinham muito boa formação em matemática e estatística. Certo dia apareceu um problema aparentemente fácil, mas que tinha uma casca de banana que gerava dúvida sobre sua solução.

Vejamos o tal problema. Nós o chamávamos de o “Problema do Silvio Santos”. Isso por que SS tinha um quadro em seu programa de domingo em que eram oferecida portas para os concorrentes escolherem. Acho que eram as Portas da Fortuna. Escolhendo a porta certa o participante do programa ganhava um prêmio. Usemos o jogo oferecido por Silvio para apresentar o curioso problema.

Considere que as Portas da Fortuna são três. Atrás de uma delas há um prêmio de valor, por exemplo, 10 mil reais. As outras portas, se escolhidas, dão direito a prêmios de consolação ou, simplesmente, o concorrente não ganha nada. Silvio pede ao concorrente para escolher uma das portas. Elas são todas iguais e só a sorte pode fazer com que seja escolhida a porta que leva ao prêmio. O participante escolhe uma porta. É aí que a coisa fica animada. As portas continuam fechadas. O apresentador sabe qual é a porta que esconde o prêmio. Ele abre uma porta das duas que não foram escolhidas pelo jogador. Como sabe onde está o prêmio, Silvio escolhe para abrir uma porta que não ganha o prêmio. Se o concorrente escolheu a porta certa na primeira escolha, Silvio tem duas portas vazias para abrir. Se o concorrente não escolheu a porta da sorte, o apresentador abre aquela das duas restantes que não conduz a ganhar os desejados 10 mil reais. Depois de abrir a porta vazia, Silvio oferece ao concorrente uma segunda jogada. Ele pode continuar com sua escolha inicial ou trocar para a outra porta que permanece fechada. Notem que o apresentador sempre seguirá o procedimento de abrir uma porta vazia e oferecer ao participante do programa a oportunidade de trocar sua primeira escolha, mesmo que a primeira escolha do concorrente tenha sido a da porta que ganha o prêmio.

Qual o problema então? Sabemos que a chance de acertar a porta na primeira escolha é de 1/3. Depois que o condutor do programa abre uma porta vazia, restam duas portas fechadas, aquela escolhida primeiro e a outra que o apresentador oferece para o candidato mudar sua escolha. Entre as duas portas restantes, a chance de acertar é aparentemente 50%. Pergunta: o concorrente aceitar trocar sua escolha original e indicar a porta que restou fechada aumenta suas chances de ganhar o prêmio?

A resposta é “Sim. Trocar para a outra porta aumenta bastante a chance de escolher a porta que esconde o prêmio.” Qual a probalidade de acertar a porta do prêmio se o concorrente trocar de portas? Deixo a vocês o cálculo da probalidade de acertar.

Vejam que interessante. Se Silvio Santos quisesse criar suspense e fizesse esse jogo com, digamos, dez portas no lugar de apenas três? Nesse jogo ampliado, o apresentador deve adotar a regra de sempre oferecer uma porta vazia para as jogadas em que o concorrente pode trocar sua escolha. Se o concorrente nao troca, ele abre a porta e mostra que ela está vazia. O concorrente esperto que não aceitar trocar sua escolha original o final do processo quando Silvio abre uma última porta vazia e só restam duas portas fechadas. Nessa jogada, o participante do programa deve aceitar trocar sua escolha inicial pela porta que restou fechada. Se o jogo for jogado assim pelo nosso ideal Silvio Santos e pelo imaginário competidor, as chances dele ganhar o prêmio será de 90%. Ou seja, assim seria fácil ganhar R$10 mil.

Este problema é apresentado no livro o Andar do Bêbado, de Leonardo Mlodinow, com mais elegância do que eu o fiz. Vi recentemente, num artigo na internet, comentarem sobre o problema. Também me empolguei em registrá-lo.